自分のための不連続日記

暇なときに思ったことや考えたことを書きます.数学の話も書くかもしれません.更新は不連続です.

2017が2つの平方和でかけること

こんばんは.

突然ですけど今年2017は素数年なんですって.しかも, 2017=9^2+44^2ですよ.素数だからって別にテンションが上がるわけでもないんですが,この素数は4で割ると1余りますね.こういう素数は面白いことが成立します.pを奇素数とすると,

p \equiv 1 \ {\rm{mod}} \ 4\Longleftrightarrowp=x^2 +y^2なるx,y \in \mathbb{Z} が存在する.

証明は右から左は初等的に分かります.

p=x^2 +y^2なるx,y \in \mathbb{Z} が存在するとき,x,yのどちらかは奇数で,どちらかは偶数です.どちらでもよいのでxを奇数とします.すると a,b \in \mathbb{Z}によってx=2a+1,y=2bとかけます.このとき,

p = x^2 +y^2 = (2a+1)^2 + (2b)^2 = 4(a^2 + a + b^2)+1

となるのでp \equiv 1 \ {\rm{mod}} \ 4です.

 逆は,\mathbb{Z} [ \sqrt{-1}] 上の考察によります.4で割ると1余る素数\mathbb{Z} [ \sqrt{-1}] 上で素元にならず,素元分解できます.詳細は省略しますが\mathbb{Z} [ \sqrt{-1}] 上で考えることにより解決するので何やら面白いですね.

また,円分体 \mathbb{Q}(\zeta_4)の整数環は\mathbb{Z} [ \sqrt{-1}] なのでこの事実は円分体論とも大きく関わっています.面白いですね.